Bijektivitás

Bijektivitás olyan függvény tulajdonsága, amely egyszerre injektív és surjektív. Egy függvény f: A → B bijektív, ha minden a ∈ A-hoz pontosan egy b ∈ B tartozik, és minden b ∈ B-hez létezik pontosan egy a ∈ A such that f(a) = b. Ebben az értelemben A és B között egy egy-az-egyben megfeleltetés jön létre, azaz egy egyértelmű „párosítás” a két halmaz között.

Injektív (egy-az-egy) függvény: ha különböző elemekhez különböző képeket rendel, azaz: ha a1 ≠ a2, akkor f(a1) ≠ f(a2). Vonatkozik a f és az értelmezési tartomány közötti egyértelműségre. Surjektív (felülről teljes) függvény: minden b ∈ B megtalálható egy a ∈ A such that f(a) = b; azaz a képe f(A) tartalmazza B összes elemét.

Mérföldkő: minden bijekció rendelkezik egy egyértelmű inverz függvénnyel f^{-1}: B → A, amelyre f^{-1}(f(a)) = a és f(f^{-1}(b)) = b minden érintett elemre. Az inversz bijektív, és a bijektivitás zártság-tulajdonság: a két bijekció összege is bijektív, és a bijekciók fordítottja is bijektív.

Példák: f: {1,2,3} → {1,2,3} a1→2, a2→3, a3→1 bijektív, mert minden elemet pontosan egyszer kapunk és minden elem meg van adva. Szabadon választható példák: f(x)=x+1 a reálfüggvényeknél (funkció R → R, bijektív); f(x)=x^2 R → R nem bijektív, mert nem surjektív és nem injektív a teljes R-on.

Különbség más tulajdonságoktól: bijektív függvény egyenlő kartoldalakat és egyértelmű inversz kapcsolatot biztosít, így ismerete nélkülözhetetlen a halmazelméleti érvelésekben és a kartoldalosság megszerzésében.