Autokorrelaatio

Autokorrelaatio on tilastotieteellinen mittari, joka kuvaa aikaisemman havainnon X_t ja tulevan tai menneen havainnon X_{t+k} välistä riippuvuutta. Se kertoo, kuinka vahvasti nykyinen arvo liittyy menneisiin tai tuleviin arvoihin. Autokorrelaatio on erityisen hyödyllinen aikasarjojen rakenteen ja riippuvuuksien ymmärtämisessä sekä mallien, kuten ARIMA-mallien, valinnassa.

Määritelmä: Autokorrelaatio rho_k lasketaan suhteessa autovarianssiin gamma_0 = Var(X_t) ja gamma_k = Cov(X_t, X_{t+k}). Siis rho_k = gamma_k / gamma_0. Jos prosessi on stationaarinen, varianssi on vakio ja rho_k = gamma_k / gamma_0, sekä rho_0 = 1. Toisinaan kirjoitetaan rho_k = Cov(X_t, X_{t+k}) / Var(X_t).

Näytteellinen toteutus: Otoksesta X_1, ..., X_n näyteautokorrelaatio r_k määritellään r_k = [sum_{t=1}^{n-k} (X_t - X̄)(X_{t+k} - X̄)] / [sum_{t=1}^{n} (X_t - X̄)^2]. Tämä arvo antaa nimenomaan likimääräisen kuvan rho_k arvoista. R_0 on käytännössä 1.

Tulkinta ja sovellukset: Riippuvatko arvojen välillä, voidaan havaita kausivaihtelua tai pitkäjänteistä riippuvuutta. Esimerkiksi suuret positiiviset rho_k-arvot tietyille k:ille viittaavat kiertävään tai toistuvaan rakenteeseen, kuten vuodenaikaisiin vaikutuksiin. Autokorrelaatiota käytetään ACF- ja PACF-plotien yhteydessä mallin valinnassa sekä stationaarisuuden arvioinnissa. Se on keskeinen työkalu taloustieteessä, meteorologiassa, signaalinkäsittelyssä ja muissa aikasarjatutkimuksissa.

Varotoimet: Trendi tai kausivaihtelu voi teettää spuriovia arvoja, joten epävarmuutta on syytä huomioida ja tarvittaessa poistaa trendi tai käyttää differencingia. Pienehkö otoskoko altistaa suurelle epävarmuudelle; tulkinnassa on aina huomioitava otoskoko ja stationaarisuus.