Approksimaatio

Approksimaatio tarkoittaa prosessia, jossa jokin tarkka, usein mutkikas tai epätarkka arvo korvataan helpommin käsiteltävällä tai laskennallisesti edullisemmalla luvulla. Tavoitteena on saada tulos, kuva tai ratkaisu, joka on riittävän lähellä todellista arvoa tilapäisten rajoitteiden vuoksi. Approksimaatio on keskeinen käsite matematiikassa, tilastotieteessä, fysiikassa sekä tietojenkäsittelyssä. Se liittyy sekä teoreettisiin että käytännön laskentoon liittyviin ongelmiin.

Matematiikassa approksimaatio jaetaan analyyttisiin sekä numeerisiin lähestymistapoihin. Analyyttinen lähestymistapa käyttää esimerkiksi Taylorin tai Fourierin sarjoja sekä muita muunnoksia, joilla ilmiö esitetään lähiluvulla. Numeerinen approksimaatio rakentuu algoritmeista, joita suoritetaan laskimella tai tietokoneella, kuten integroitujen arvojen, juurten tai ratkaisujen likimääräiset laskut. Yleisiä tekniikoita ovat interpolaatiot (esim. Lagrangen polynomit), sovitus pienimmän neliön menetelmällä sekä iteratiiviset ratkaisut (esim. Newtonin menetelmä).

Virhe on olennainen osa approksimaatiota. Pätkävirhe (truncation error) ja pyöristysvirhe ovat yleisiä virhetyyppejä. Virheen suuruutta ilmoitetaan usein absoluuttisena tai suhteellisena virheenä. Konvergenssi tarkoittaa, että tarkemman laskennan tai suuremman tarkkuuden lisääminen johtaa arvoon, joka lähenee todellista arvoa. Hyvin suunnitellut menetelmät ovat stabiileja ja tarjoavat hallittuja virheitä.

Sovelluksia ovat muun muassa numeerinen integraatio ja differentiaation ratkominen, fysiikan ja tekniikan simuloinnit sekä tilastollinen datan käsittely ja epävarmuuslaskenta. Esimerkkinä piin likiarvon kehittäminen on perinteisesti ollut yksi varhaisista ja tunnetuista approksimaatiomenetelmistä. Approksimaatioteoria tutkii, miten hyvin perusfunktio voidaan lähentää polynomilla tai muulla funktiolla sekä miten nopeasti lähentäminen konvergoituu.