Adjointti

Adjointti (adjointti) on käsite lineaarialgebrassa ja funktionaalisessa analyysissä, joka liittyy sisätulon vastineeseen. Olkoot V kompleksi- tai reaalinen sisätuloavaruus ja <x, y> sen sisätulo. Lineaarinen A: V → V omaa adjointin A*, jos on olemassa operaatio A*: V → V, joka täyttää <Ax, y> = <x, A*y> kaikille x, y ∈ V. Adjointti on ainutlaatuinen, ja sitä merkitään usein A* tai A†. Kun V on C^n ja sisätulo on ⟨x, y⟩ = ∑ x_i y_ī, adjointti vastaa konjugoitua transponointia; jos taas V on R^n ja käytetään tavallista sisätuloa, A* on A^T.

Käytännössä adjointti voidaan ilmaista matriisitasolla: jos A on neliömatriisi, A* on konjugoitujen kompleksien arvojen transponointi, ja realisessa tapauksessa A* = A^T. Tärkeä ominaisuus on, että (A+B)* = A* + B*, (αA)* = ᾱ A*, ja (AB)* = B* A*. Lisäksi (A*)* = A, ja eigenarvot: jos λ on A:n neliöpelin arvo, niin λ̄ on A*:n vastaava arvo; samat ei-nollaiset ominaisarvot pätevät A ja A tähtelle, ja A*A:sta AA*:sta saa positiivisesti semidefiniä.

Erikoismuodot: Hermitian/self-adjoint (A = A*), unitary (AA* = A*A = I) ja normal (A*A = AA*). Laajemmassa tilassa adjointti määritellään myös hajautetuille operaatoreille, jolloin määrittely vaatii tiheän määrittelyjoukon.

Sovellukset: kvanttimekaniikassa havaittavat suureet ovat yleensä itseadjointoja; signaalinkäsittelyssä adjointti liittyy sekä jatkuvaan että diskreettiseen foutuun; numeerisessa lineaarialgebrassa adjointtia käytetään mm. kriteereissä ja algoritmeissa kuten konjugoitujen gradienttien menetelmissä. Adjointtia käytetään yleisesti sekä teoreettisessa että soveltavassa kontekstissa.