Önadjungált

Önadjungált (self-adjoint) olyan lineáris operátor vagy mátrix, amely megegyezik az adjungáltjával. Formális definíció szerint egy belsőprodukttérben T: V → V önadjungált, ha minden x, y ∈ V kielégíti <Tx, y> = <x, Ty>. Ha a tér valós, ez megfelel annak, hogy T = T*, azaz az adjungált és a transzponált megegyezik; ebben az esetben a mátrix A önadjungált, ha A = A*.

Jelentős tulajdonságok: az önadjungált operátor eigenértékei valósak; ha két különböző eigenértékhez tartozó vektorokhoz, akkor az eigenvektorok derékhajlás mentén ortogonálisak. Véges dimenziós komplex térben a Spektrális tétel kimondja, hogy létezik egy egységnyi normával rendelkező eigenvektorokból álló bázis és A = U Λ U*, ahol Λ valós diagonális mátrix és U egy unitary mátrix. Hasonlóan a valós téren: ha A valódi, akkor A = A^T és létezik ortogonális eigenbázis: A = Q Λ Q^T.

Kapcsolat más osztályokkal: az önadjungált operátor önnormális, mert A*A = AA*. A normális operátorok között azonban a normalitás nem feltétlenül jelenti az önadjungultságot.

Példák: a [[2, 1], [1, 3]] mátrix szimmetrikus, tehát önadjungált; a [[1, i], [-i, 4]] Hermitikus, mert A* = A.

Alkalmazások: kvantummechanikában a mérhető mennyiségeket önadjungált operátorokként modellezik; a spektrális dekompozíció fontos eszköz a rendszer vizsgálatában és a numerikus lineáris algebra különféle feladatainál.