Állapottér

Az állapottér (state space) a dinamikus rendszerek belső állapotainak összességét és az állapotok leírására használt matematikai teret jelöli. Az állapotok olyan mennyiségek, amelyektől a rendszer jövőbeli viselkedése függ, és amelyek nem feltétlenül közvetlenül mérhetők vagy vezérelhetők. Az állapottérben az állapotvektor x hozzákapcsolja a rendszer múltbeli és jelenlegi viselkedését a jövőbeli kimenetekhez.

Az állapotváltozók gyakran x ∈ X ⊆ R^n formában vannak, ahol n az állapotok száma. Az X lehet bármilyen megfelelő mértékben dimenzionált, és tartalmazhatja a fizikai korlátokat vagy más korlátozásokat. A modellezés során az állapottéret úgy alakítják ki, hogy az állapotok evolúciója és a kimenetek megadhatók legyenek a bemenetekkel és az idővel összefüggésben.

A dinamika leírására rendszerint állapotegyenleteket használnak. Continuous-time: dx/dt = f(x, u, t) és y = h(x, u, t). Discrete-time: x_{k+1} = f(x_k, u_k, k) és y_k = h(x_k, u_k, k). Erősen használt különválasztás a lineáris időfüggetlen (LTI) forma: dx/dt = Ax + Bu és y = Cx + Du; vagy a diszkrét változat: x_{k+1} = Ax_k + Bu_k, y_k = Cx_k + Du_k.

Jelentősége: lehetővé teszi a rendszer viselkedésének elemzését, stabilitásvizsgálatot, kontroll- és megfigyelő-tervezést (például Kalman-szűrő). Kiterjeszthető nemlineáris, sztochasztikus vagy hibrid rendszerekre is.

Példa: egy tömeg-mellékolásos rendszer esetén x1 = pozíció, x2 = gyorsulás vagy sebesség. Az állapotegyenletek: x1' = x2, x2' = -(c/m)x2 - (k/m)x1 + (1/m)u, kimenet legyen x1.