vektorianalyysin

Vektorianalyysi on matematiikan ala, joka tutkii vektoreita ja niiden ominaisuuksia erityisesti moniulotteisissa avaruuksissa. Se yhdistää usein differentiaali- ja integraalilaskennan käsitteitä vektoreiden ja vektorikenttien kanssa. Vektorianalyysi on keskeinen työkalu monilla fysiikan ja tekniikan aloilla, kuten sähkömagnetismissa, virtausmekaniikassa ja yleisessä suhteellisuusteoriassa.

Keskeisiä käsitteitä vektorianalyysissä ovat gradientti, divergenssi ja roottori. Gradientti kuvaa vektorikentän suurin kasvun suuntaa ja nopeutta skalaarifunktiosta. Divergenssi mittaa, kuinka paljon vektorikenttä "vuotaa" ulospäin tietystä pisteestä tai tilavuudesta. Roottori puolestaan kertoo, kuinka paljon vektorikenttä "pyörii" tietyn pisteen ympärillä. Nämä operaatiot ovat perustavanlaatuisia monien fysikaalisten lakien ilmaisemisessa.

Vektorianalyysiin kuuluvat myös linja- ja pintaintegraalit. Linjaintegraalien avulla voidaan laskea esimerkiksi työtä, jonka voima tekee siirrettäessä kappaletta pitkin käyrää. Pintaintegraaleja käytetään puolestaan laskemaan esimerkiksi virtauksia pinnan läpi. Stokesin lause ja Gaussin divergenssilause ovat tärkeitä vektoriaalisia integraalilauseita, jotka yhdistävät linja- ja pintaintegraaleja sekä gradientin, divergenssin ja roottorin operaatioita. Nämä lauseet ovat yleistyksiä perustavanlaatuisesta kalkyylin lauseesta moniulotteisiin tapauksiin.