vectorafstand

Vectorafstand betegner et mål for afstanden mellem to vektorer i et vektorrum. Den defineres som normen af deres forskel: d(x, y) = ||x − y||, hvor ||·|| betegner en valgt norm. I rum R^n med den standard Euclidiske norm er afstanden mellem x og y derfor d(x, y) = sqrt(∑_{i=1}^n (x_i − y_i)^2).

Generelt kan afstanden defineres ved hjælp af enhver norm, der opfylder kravene til en metrik. Almindelige valg er L1-afstand d1(x, y) = ∑ |x_i − y_i| og L∞-afstand d∞(x, y) = max_i |x_i − y_i|. P-norm afstand er d_p(x, y) = (∑ |x_i − y_i|^p)^{1/p} for p ≥ 1, hvor p = 2 giver Euclidisk afstand og p = 1 giver Manhattan-afstanden.

Vectorafstand er en metrik: den er ikke-negativ, symmetrisk, nul kun når x = y, og opfylder trekantsulningen. Den giver en skalær værdi, ikke en vektor, og anvendes bredt inden for områder som klyngedannelse, nærmeste nabosøgning og andre maskinlæringsopgaver til måling af lighed eller forskel mellem vektorer.

Ved beregninger kan man bruge den kvadrerede afstand d^2(x, y) = ∑ (x_i − y_i)^2 for at undgå kvadratrødder, hvilket kan fremskynde beregninger. I højdimensionale rum kan afstande blive mindre informative, hvilket gør valget af norm og normalisering vigtig.