väliarvolause

Väliarvolause on peruslause analysissa. Se kuuluu: jos funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a, b] ja jokin arvo y on f(a) ja f(b) välissä, niin löytyy c ∈ [a, b] sellainen, että f(c) = y. Väliarvolause tunnetaan yleisesti nimellä intermediate value theorem (IVT).

Muotoilu ja ehtoja: Väliarvolause vaatii jatkuvuutta kyseisellä välillä. Formaali toteaa, että jos f on jatkuva [a, b], ja y on arvolta f(a) ja f(b) väliin kuuluva, niin on olemassa c ∈ [a, b] niin, että f(c) = y. Erityisesti, jos f(a) ja f(b) ovat erimerkkisiä, eli f(a)·f(b) < 0, on olemassa c ∈ (a, b) sellainen, että f(c) = 0.

Seuraukset ja merkitys: Lause mahdollistaa olemassaolon todistamisen ilman täsmällistä ratkaisua. Se ei vaadi monotoneisuutta, vaan jatkuvuus riittää. Väliarvolause on myös kehittyneempi ilmaus siitä, että jatkuvan funktion kuva-alue on väli, eli yhteinen väline, jonka arvot muodostavat kaikki arvot tietyn välillä.

Historia ja konteksti: Väliarvolauseen varhaisen kehityksen ja todistusten taustat liitetään Bolzanoon 1800-luvun alussa. Lause on ollut keskeinen työkalu sekä opetuksessa että teoreettisessa analyysissä, ja sitä sovelletaan muun muassa juurien todistamiseen sekä ratkaisujen olemassaolon varmistamiseen jatkuville funktioille.

Esimerkki: Olkoon f(x) = x^2 ja alue [0,1]. f(0) = 0 ja f(1) = 1. Valitse y = 0.5. Väliarvolause takaa esiintymän c ∈ (0,1) sellaisen, että f(c) = 0.5, eli c ≈ sqrt(0.5) ≈ 0.7071.