täydellisyysominaisuus

Täydellisyysominaisuus on matemaattisessa analyysissä tilan ominaisuus, jossa jokainen Cauchy-sekvenssi konvergoi tilan sisällä. Tarkka määritelmä: olkoon X metriikka- tai normoitava tila ja (x_n) Cauchy-sekvenssi X:ssä. Jos on x ∈ X sellainen että x_n → x, niin X on täydellinen. Täydellisyys voidaan ilmaista myös järjestyslajina: reaalilukujen kohdalla jokainen ei-tyhjä, ylärajoitettu joukko on suprema (Dedekindin täydellisyys). Näin ollen täydellisyys voidaan ymmärtää sekä mittaus- että järjestelmän näkökulmasta.

Rajat ja esimerkit: Reaaliluvut R ovat täydelliset; rationaaliluvut Q eivät ole, sillä Cauchy-sekvenssi Q:ssa voi konvergoida irrationaaliseen lukuun, jota ei ole Q:ssa. Esimerkkejä täydellisistä tiloista ovat R, R^n sekä monen funktion tilat, kuten C([a,b]) varustettuna sup-normilla tai L^p-tilat, joissa kaikki Cauchy-sekvenssit konvergoivat tilan sisällä. Täydellisyys on yleisesti keskeinen käsite Banach-puissa (täydelliset normoitavat tilat) ja se mahdollistaa monien konvergenssiin liittyvien todistusten sekä sovellusten, kuten kontraktausperiaatteen ja iteratiivisten menetelmien, luotettavan toiminnan.

Historia ja yhteydet: Täydellisyys liittyy tunnettuun Dedekindin täydellisyysideaan sekä reaaliarvon intuitiiviseen rakentamiseen; käsite on olennainen osa modernia analyysia ja funktionaaliaineistoa.