tilanyhtälö

Tilanyhtälö on matemaattinen malli, joka kuvaa dynaamisen järjestelmän sisäisen tilan muutosta sekä ulkoisen vaikutuksen aiheuttamaa reaktiota. Yleisessä lineaarisessa, aikavakiissa muodossa kontinuutin ajan: dx/dt = Ax + Bu, y = Cx + Du. Tässä x ∈ R^n on tilavektori, u ∈ R^m syöte ja y ∈ R^p lähtö. Diskreetissa ajassa vastaavasti: x_{k+1} = Ax_k + Bu_k; y_k = Cx_k + Du_k. Alkuarvot määritellään x(0) = x0.

Tilayhtälöt voidaan johtaa korkeammista todennäköisistä differentiaali- tai erotusyhtälöistä muuttamalla tilamuuttujia (esimerkiksi tilat, nopeudet) siten, että järjestelmä kuvaantuu pienellä määrällä tilamuuttujia. Ne kuvaavat dynamiikkaa, ja ne voivat olla lineaarisia tai ei-lineaarisia; lineaarisessa, aikavakiissa muodossa ne ovat usein helppoja analysoida ja suunnitella.

Ominaisuudet ja sovellukset: Lineaarisen tilayhtälömallin vakautta tarkastellaan A:n spektreillä; hallittavuus ja observoitavuus kertovat, voiko tilaa muuttaa tai tilaa rekonstruoida syötteen ja mittausten perusteella. Tilayhtälöitä käytetään laajalti automaatio- ja ohjausjärjestelmissä, signaalinkäsittelyssä sekä tilasovellusten suunnittelussa, kuten Kalman-suodattimissa, tila- ja ennakoivassa ohjauksessa sekä mallintamisessa. Ne muodostavat yhteisen ja joustavan tavan kuvata sekä jatkuva- että diskreettiaikaisia dynaamisia järjestelmiä.