tangentlinjene

Tangentlinjen til en kurve er en rett linje som berører kurven i ett punkt og som har samme retning som kurven i dette punktet. Begrepet brukes i geometri og analyse fordi tangentlinjen gir en lokal lineær tilnærming av kurven.

For en graf y = f(x) som er derivert i et punkt a, er tangentlinjen til grafen i punktet (a, f(a)) gitt ved y = f(a) + f′(a)(x − a). Dette kan også skrives som y − f(a) = f′(a)(x − a). Stigningstallet til tangentlinjen er den deriverte f′(a).

For implicitte kurver F(x, y) = 0 kan tangentlinjen i et punkt (x0, y0) med F(x0, y0) = 0 beskrives ved gradienten: F_x(x0, y0)(x − x0) + F_y(x0, y0)(y − y0) = 0, forutsatt at gradienten ∇F(x0, y0) ≠ 0. Dette gir en måte å finne tangentlinjen uten å eksplisitt løse for y som funksjon av x.

Eksempler:

- Parabola y = x^2 ved x = 2 har tangentlinjen y = 4x − 4.

- En sirkel x^2 + y^2 = r^2 ved punktet (x0, y0) på sirkelen har tangentlinjen x0 x + y0 y = r^2.

Anvendelser inkluderer lineær tilnærming (lokal linearisering) i kalkulus og anvendt geometri. Dersom funksjonen ikke er differentiell i et punkt, eller hvis kurven har en cusp eller knute, kan tangentlinjen ikke eksistere eller det kan forekomme flere tangenter. Tangentlinjer er grunnleggende verktøy i analyse og geometri for å beskrive kurvers retning ved et punkt.