solmujoukkoa

Solmujoukko on topologian käsite, joka kuvaa solmun ympärillä olevan tilan perusryhmää. Jos K on solmu S^3:ssä, sen solmujoukko G(K) määritellään G(K) = π1(S^3 \ K). Tämä ryhmä tallentaa erilaisten silmukoiden mahdolliset reitit solmun ympärillä tilan homotopia-luokkineen.

Laskeminen solmujoukosta tapahtuu usein Wirtingerin esityksen avulla. Ketjun diagrammista muodostuvat generaattorit vastaaville kaarille ja relaatiot jokaisesta risteyksestä. Näin saadaan finitesti esitettävä ryhmä: G(K) = < generaattorit | relaatiot >. Käytännössä tasaisten risteysten vuoksi näitä esityksiä voidaan laskea ohjelmallakin.

Perusominaisuudet: Solmujoukko on isotopiamuuttujaan liittyvä invariantti; kun solmua isotopiaan liitetään, solmujoukko muuttuu vain isomorfisesti. Abelianisaatio G(K)ab on Z, ja meridiaani määrittää sen vakiintuneen generaattorin. Peripheralinen aliryhmä on Z × Z, ja sitä hallitsevat meridiaani μ sekä longitudin λ; nämä kaksi generaattoria ovat keskenään kommutatiivisia.

Rooli ja rajoitukset: Solmujoukko on tärkeä invariantti solmujen luokittelussa, mutta se ei ole täydellinen; on olemassa epäyhtenäisiä solmuja, joilla on samankaltainen solmujoukko. Gordon–Luecken teoreemaan mukaan, jos kaksi solmua niiden komplementtien perusteella ovat homeomorfisia, solmut ovat ambient isotopit. Tämä korostaa, että solmujoukko yksin ei riitä täydellisen luokittelun saavuttamiseen.

Sovellukset: Erinomainen väline hyperbolisten solmujen tutkinnassa; solmujoukko voi olla discreettinen aliryhmä PSL(2, C):n toiminnassa. Läsnä on myös yhteyksiä muita invariantsiin, kuten Alexander-polynomi ja karakterijoukkojen menetelmät, jotka hyödyntävät ryhmän rakennetta.

Esimerkki: Kolmihaarainen solmu (trefoil) antaa ei-abelianisen solmujoukon, jonka Wirtingerin esitys on usein < a, b | a b a = b a b >. Tämä havainnollistaa, miten solmujoukko voi erota yksinkertaisuudestaan ja silti kuvata solmun rakennetta.