skalárfüggvény

A skalárfüggvény olyan függvény, amely egy adott tartomány minden pontjához egy skalárértéket rendel. Gyakori esetben a domén egy részhalmaz R^n, a kódomain pedig a valós számok halmaza (R) vagy néha a komplex számok halmaza (C). Ha a domén minden pontjához egy valós számot rendel, skalárfüggvényről beszélünk; ha a domén pontjaihoz többdimenziós értéket (például vektort) rendel, akkor vector-valued vagy vektorfüggvényről van szó. A skalárfüggvények központi szerepet játszanak a többváltozós függvényelméletben és a skalármezőkben.

Példák: f(x) = x1^2 + x2^2 a R^2-ban, f(x) = e^{-|x|} a R^n-ben, vagy f(x) = sin(|x|). Komplex értékű függvények esetén f: D → C is lehet skalárfüggvény.

Jellemzők és műveletek: A skalárfüggvényeknél gyakori a folytonosság és a differenciálhatóság vizsgálata. Egy pontban aGradient∇f(x) a részleges deriváltak vektorát adja meg, a másodrendű leképezésekhez pedig a Hessian Hf(x) használatos. A szintfelületek vagy szintkészletek – azaz a {x : f(x) = c} halmazok – fontos geometriai fogalmak.

Alkalmazások: optimalizáció (minimum/maximum keresése), fizikában és geometriában potenciál- és skalármezők vizsgálata (például hőmérséklet- vagy potenciálerőmezők), és távolságfüggvények, Taylor-fejlődés, valamint a Laplacian Δf is gyakran vizsgált eszköz.

Lásd még: gradient, Hessian, szintfelület, potenciál, skalármező.