semidefiniittejä

Semidefiniitit ovat matriisin ominaisuus, joka liittyy sen neliöllisen muodon arvoon. Neliöllinen muoto on funktio, joka ottaa vektorin syötteenä ja palauttaa skalaarin.

Matriisi A on positiivisesti semidefiniitti, jos x^T A x >= 0 kaikilla vektoreilla x. Toisin sanoen, neliöllinen muoto x^T A x tuottaa aina ei-negatiivisia arvoja.

Matriisi A on negatiivisesti semidefiniitti, jos x^T A x <= 0 kaikilla vektoreilla x. Tällöin neliöllinen muoto tuottaa aina ei-positiivisia arvoja.

Jos matriisi ei ole kumpikaan edellisistä, se on indefiniitti. Tällöin neliöllinen muoto voi tuottaa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja riippuen syötevektorista.

Semidefiniittisyys on tärkeä käsite lineaarialgebrassa ja optimoinnissa. Esimerkiksi konveksissa optimoinnissa toisen derivaatan matriisin (Hessin matriisin) semidefiniittisyys kertoo funktion paikallisesta konveksisuudesta. Positiivisesti semidefiniiteillä matriiseilla on erityisiä ominaisuuksia, kuten se, että kaikki niiden ominaisarvot ovat ei-negatiivisia. Samoin negatiivisesti semidefiniiteillä matriiseilla kaikki ominaisarvot ovat ei-positiivisia.