posteriorfordelingen

Posteriorfordelingen er sandsynlighedsfordelingen for ukendte parametre givet observerede data. Den defineres gennem Bayes' sætning: p(θ|D) = p(D|θ) p(θ) / p(D), hvor p(D|θ) er sandsynligheden for data givet parameteren, p(θ) er en fordeling for parameteren før data, og p(D) er marginal sandsynligheden, beregnet som ∫ p(D|θ) p(θ) dθ.

Posterioren kombinerer vores viden før data med en sandsynlighedsmodel for dataene. Prioren repræsenterer forhåndsantagelser eller viden, og sandsynlighedsfunktionen beskriver, hvordan data antages at opføre sig under forskellige værdier af θ. Posterioren ændres, når nyt data tilføjes.

Fortolkning og egenskaber: Den giver en fuld fordeling over parametrene, ikke kun et punktestimat. Den kræver normalisering ved at beregne p(D). I store datasæt kan posterioren koncentrere sig omkring en sand værdi, hvilket afspejler øget præcision.

Beregning og anvendelser: Nogle kombinationer af prior og likelihood giver lukkede former for p(θ|D) (f.eks. Beta-prior til binær data eller Normal-prior til normal likelihood). Ellers anvendes numeriske metoder som MCMC (Gibbs-sampling, Metropolis-Hastings) eller variational inference til at approximate posterioren. Den bruges også til at beregne posteriorforudsigelsen p(y_new|D) = ∫ p(y_new|θ) p(θ|D) dθ.

Posteriorfordelingen er central i Bayesiansk statistik og anvendes i videnskabelig forskning, politik og maskinlæring. Den giver både punktestimater og kvantificering af usikkerhed gennem troværdighedsintervaller og andre beslutningsværktøjer.