polinomszerkezethez

A polinomszerkezethez általános értelemben a polinomokból felépülő algebrai szerkezetek összességét értjük. A legfontosabb példát a polinomgyűrűk jelentik. Ha R egy gyűrű, akkor a polinomgyűrű R[x] a polinomok halmaza, amelyben a polinomok formája a0 + a1 x + ... + an x^n (ai ∈ R, n ≥ 0). A műveletek az összeadás és a szorzás, amelyeket a kiinduló gyűrű R műveletei alapján adunk meg. Ha R kommutatív gyűrű egységgel, akkor R[x] is kommutatív gyűrű egységgel. Ha R egy test, akkor R[x] PID és UFD, és a F[x] Euclidális domén is.

A polinomok fokát f(p) = max { k | ak ≠ 0 }, ha p = a0 + a1 x + ... + an x^n és an ≠ 0, írjuk; ha p = 0, f(p) = -∞. A vezető koefficiens az a_n. Többváltozós polinomokhoz R[x1, ..., xn] is értelmezhetők; a monomok a többváltozós kifejezések, és a fok szerint graduált szerkezeteket kapunk.

Alkalmazások közé tartozik a polinomok megoldási módszerei algebrai egyenletrendszerekhez, algebrai görbék és általános algebrai geometria modellezése, valamint modulok és algebrák felépítése, ahol a polinomszerkezet központi szerepet játszik.