perusvektorin

Perusvektori on lineaarialgebran käsite. Se on vektori, joka kuuluu basisiksi kutsuttuun vektoreiden joukkoon. Basis on joukko vektoreita, jotka ovat lineaarisesti riippumattomia ja joiden lineaarinen yhdistelmä kattaa tilan V. Jokainen vektori v ∈ V voidaan esittää yksikäsitteisesti lineaarisena yhdistelmänä basisvektoreista: v = a1 b1 + ... + an bn, jossa b1, ..., bn ovat basisvektoreita ja a1, ..., an ovat koordinaatteja.

Käytännössä tiloissa kuten R^n standardi basis on B = {e1, ..., en}, jossa ei–nnen komponentin on 1 ja muut komponentit 0. Esimerkiksi R^2:ssa e1 = (1,0) ja e2 = (0,1). Jokainen v = (x1, ..., xn) voidaan kirjoittaa v = x1 e1 + ... + xn en, ja koordinaatit x1, ..., xn kertovat v:n siirtymisen tämän basisin suhteen.

Basisia ei ole ainoastaan yksi. Tilan dimensi on basisvektoreiden lukumäärä, ja eri basis voidaan käyttää samaan tilaan. Jos basis on ortonormaali, koordinaatit ovat usein helpommin laskettavissa ja tilan geometria sekä projektioiden laskut helpottuvat.

Perusvektorit muodostavat kehyksen, jonka avulla vektorit ja lineaariset transformaatioiden esitykset voidaan tehdä yksinkertaisemmin. Ne ovat keskeisiä sekä teoreettisissa että soveltavissa tehtävissä, kuten koordinaattimuunnoksissa, grafiikassa ja fysiikan matemaattisissa malleissa.