operaatoriteooriat

Operaatoriteooria on funktsionaalse analüüsi haru, mis uurib lineaarsete operaatorite omadusi ja nende spektri funktsionaalruumidel, eelistatult Hilberti ruumidel. Peamisteks objektideks on piiratud lineaarsed operaatorid ning tihti ka tihedalt defineeritud (unbounded) operaatorid, nende adjongid, domään, suletud operatsioonid ning klassifikatsioonid self-adjoint, unitaarsete ja normaalsete operaatorite vahel.

Operatsioonide spekter on põhiline mõiste: punkt- võiomaduspets, kontinuum- ja residuaarspekter ja nende mõju lahendustele. Spektriteooria annab tööriistad funktsionaalse kalkuluse abil, kus opereerija kaudu saab funktsioone funktsioneerida operatsioonide kaudu. Olulised tulemused on spektriteoreem self-adjointsete ja unitaarsete operaatorite jaoks ning funktsionaalne kalkul, mis võimaldab rakendada funktsioone otse operaatoritele. Teine oluline teema on polaarjaotamine ja Riesz–Schauderi teooria kompaktsete operaatorite kohta.

Tehniliselt käsitletakse ka C*-algebrasid ja von Neumann’i algebraid kui abstraktseid raamistikku, kus operaatorite teineteisega seotud struktuurid on tihti paremini mõistetavad ning kus ilmnevad olulised tulemused, nagu sõlmitud kordused ja representatsiooniteooria. Lisaks on keskne Fredholmi teooria, indeks-teooria ja perturbatsiooniteooria, mis käsitlevad operaatorite stabiilsust ja avastatavaid omadusi.

Operaatoriteoorial on laialdased rakendused kvantmehhaanikas, signaalitöötlemises, lahenduste arvutustes ja kontrollisüsteemides. Ajalugu ulatub 20. sajandi alguses Hilberti ja von Neumann’i töödele ning on arenenud edasi mitmete teooriate ja algebrade arenguga.