normákban

Normák olyan függvények, amelyek hozzárendelnek egy nemnegatív számot minden vektorhoz egy adott lineáris térben. Egy norma három alapelve szerint jellemzett: pozitivitás (||x|| ≥ 0, és ha x ≠ 0, akkor ||x|| > 0), homogenitás (||αx|| = |α| ||x|| minden skalárra α), és a háromszög-egyenlőtlenség (||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||). A norma távolságot is definiál: d(x, y) = ||x − y||, így a normált tér egyúttal metrikus tér is.

Gyakori példák közé tartozik az euklideszi norma ||x||2 = sqrt(sum xi^2), az l^p-normák (||x||p = (sum |xi|^p)^{1/p}, 1 ≤ p < ∞) és az végtelen norma ||x||∞ = max_i |xi|. Mátrixokra is definiálhatók normák, például az operátor-norma ||A|| = sup_{x ≠ 0} ||Ax|| / ||x||, amely a lineáris leképezés legnagyobb tágulását méri.

Összefüggések: belsőszorzat nélküli terekben a norma nem feltétlenül származik belsőtermésből; viszont ha a térben van belsőszorzat, akkor a norma gyakran a belsőtermésből származik, és a parallelogram-törvény teljesülése alapján lehet meghatározni, hogy a norma belsőtermés által meghatározható-e. Tér- és konvergenciai tulajdonságai miatt a normák alapvetők a funkcionális analízisben.

Különbség van a véges és végtelen dimenziók között: véges dimenzióban minden norma ekvivalens (azonos topológia), míg végtelen dimenzióban ez már nem feltétlenül igaz. Alkalmazások közé tartozik a mérés, konvergencia, stabilitás vizsgálata, numerikus számítások, optimalizáció és gépi tanulás.