nollvektoret

Nollvektoret, ofte kalt nullvektoren, er identiteten under addisjon i et vektorrom. Det er den unike vektoren 0⃗ som oppfyller v + 0⃗ = v for alle v i vektorrommet. I et euklidisk rom som R^n er nollvektoren vanligvis skrevet som (0, ..., 0).

Egenskaper og betydning:

Nollvektoren er den additive identiteten og eksisterer i hvert vektorrom. Den er unik, og for enhver vektor v finnes det en additiv invers (-v) slik at v + (-v) = 0⃗. Ved skalar multiplikasjon gir a · 0⃗ = 0⃗ for alle skalarer a. Normen til nollvektoren er 0, og avstanden fra nollvektoren til origo er lik 0. I lineær algebra ligger nollvektoren alltid i kjernen til enhver lineær transformasjon f: V → W, siden f(0⃗) = 0⃗ for alle lineære transformasjoner.

Representasjon og koordinater:

I et koordinatsystem har nollvektoren alle koordinater lik 0. For eksempel i R^3 er nollvektoren (0, 0, 0). Innenfor funksjonsrom er den tilsvarende nulle funksjonen f(t) = 0 for alle t. I romet av matrisenheter er den tilsvarende nulle kolonnen eller rad av nuller, avhengig av konvensjon.

Bruksområder:

Nollvektoren brukes som referansepunkt i beregninger av avstander, vinkler og projeksjoner, samt i konstruksjon av subrom og i definisjonen av lineære uavhengighet og basis. Den er grunnleggende for forståelse av vektorrom og lineær struktur.