minimointiperiaatetta

Minimointiperiaate, joka tunnetaan myös toiminnan variatiivisena periaatteena tai Hamiltonin periaatteena, on fysiikassa keskeinen variational principle. Sen mukaan todellinen kehitys systeemin välillä kahden määriteltyjen tilan tai ajan välillä seuraa polkua, jonka toiminta S on stationaarinen eli δS = 0 pienille polun muutoksille.

Toiminta S määritellään S = ∫_{t1}^{t2} L(q, q̇, t) dt, missä L on Lagrangen funktio L = T − V. q(t) kuvaa generalized koordinaatteja ja q̇ niiden aikadiffeeraatiota; t on aika. Lagrangen yhtälöt d/dt (∂L/∂q̇) − ∂L/∂q = 0 antavat systeemin liikkeen. Näin toiminnan variatiivinen periaate on yhtenäinen tapa johtaa Newtonin lait mekaniikassa, kun L määritellään asianmukaisesti.

Periaatteen keskeinen merkitys ulottuu sekä mekaniikkaan että optiikkaan. Esimerkkinä mekaniikasta polku ratkaisee liikkeen, ja optiikassa Fermat’n periaate on erityistapaus: valo seuraa reittiä, joka on optisen pituuden ∫ n ds varaan stationaarinen n on refraktiivinen indeksi. Laajennukset ulottuvat kvanttiteoriaan, jossa Feynmanin polttoprosessi käyttää S:pathin kautta summattavaa amplitudia e^{iS/ħ}, sekä kenttäteoriaan ja yleistä suhteellisuutta koskeviin variaatioihin, kuten Einsteinin kenttäyhtälöt saadaan Einstein–Hilbertin toiminnasta.

Historiaan liittyy Maupertuisin, Eulerin ja Lagrangen varhaisvaiheen työn sekä myöhempi Hamiltonin kehitys. Periaate tarjoaa yleisen, heuristisesti intuitiivisen yhteyden useiden fysiikan osa-alueiden välillä.