metrikkerne

Metrikkerne i matematikken refererer til funktioner, der måler afstand mellem elementer i et sæt. En metrik, ofte betegnet d, er en funktion d: X × X → [0, ∞) der opfylder tre grundlæggende krav: d(x,y) ≥ 0 og d(x,y) = 0 hvis og kun hvis x = y (identitet), d(x,y) = d(y,x) (symmetri), og d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) (trekantuligheden). Et sådant par (X,d) udgør et metrisk rum, og for hvert punkt x og r > 0 defineres bolden B(x,r) = {y ∈ X | d(x,y) < r}. Disse bolde giver en naturlig topologi og gør begreber som konvergens, åbne sæt og kontinuitet meningsfulde.

Eksempler inkluderer den euklidiske metrik i R^n: d(x,y) = √Σ_i (x_i − y_i)^2; den diskrete metrik: d(x,y) = 0 hvis x = y, ellers 1; samt L^p-metrikker d_p(x,y) = (Σ_i |x_i − y_i|^p)^{1/p} og sup-metrikken d_∞(x,y) = sup_i |x_i − y_i|.

Der findes også ultrametrikker, hvor d(x,z) ≤ max(d(x,y), d(y,z)), og pseudo-metrikker, hvor d(x,y)=0 kan forekomme uden at x=y. En rum er komplet, hvis hver Cauchy-sekvens konvergerer i rummet. To metrikker siges at være topologisk ækvivalente, hvis de definerer den samme topologi. Metrikker giver en måde at måle afstand på og beskrive konvergens, kontinuitet og geometri i både analyse og anvendelser som dataanalyse og algoritmer.