linearizáciu

Linearizácia je proces aproximácie nelineárnych systémov, funkcií alebo dejov lineárnym modelom v okolí určitého bodu. V matematike a aplikovaných vedách sa týmto spôsobom zjednodušuje analýza a výpočet, keď sa vyžaduje len lokálne správanie okolo stavu.

Formálne platí, že pre funkciu f: R^n → R^m s bodom a je linearizácia v tomto bode daná prvého rádu Taylorovou aproximáciou: L(x) = f(a) + J_f(a)(x − a), kde J_f(a) je Jacobian f v bode a. Pre jednorozmerné funkcie platí L(x) = f(a) + f'(a)(x − a).

Použitie linearizácie sa sústreďuje na lokálne problémy: v dynamických systémoch a riadení sa používa na skúmanie stability rovnovážnych bodov a na získanie jednoduchého lineárneho modelu okolo tých bodov. Z lineárneho modelu sa analyzuje A = ∂f/∂x (x*) a jeho eigenvalues určujú stabilitu systému. V numerickom riešení neriešených rovníc a v algoritmoch ako Newtonova metóda vychádza z lineárnej aproximácie pôvodného problému. V fyzike, mechanike a ďalších odboroch sa linearizácia používa na skúmanie malých perturbácií a na rýchle odhady správania systému.

Obmedzenia linearizácie sú jasné: ide o lokálnu aproximáciu a jej presnosť klesá so vzdialenosťou od výchoziho bodu; pri väčších odchýlkach môžu nastať významné rozdiely. Preto sa často používajú vyššie poriadky Taylorovej series alebo iteratívne metódy, ktoré pozostávajú z opätovného lineárizovania a aktualizácie bodu.