likhetstransformasjoner

Likhetstransformasjoner er kart som tar et geometrisk objekt til et annet slik at formen bevares, mens størrelsen kan endres med en konstant skalar faktor. De karakteriseres ved at avstanden mellom to punkter inntar en konstant forhold til hverandre etter transformasjonen: d(S(x), S(y)) = c d(x, y) for en konstant c > 0. Dermed bevares vinkler og generelle former, men ikke absolutt størrelse.

I E^n kan en likhetstransformasjon ofte skrives som S(x) = a R x + t, hvor a > 0 er skaleringsfaktoren, R er en ortogonal matrise (rotasjon og eventuelt speiling) og t er en translasjon. Når a = 1, reduseres transformasjonen til en isometri (rotasjon/refleksjon kombinert med translasjon). Avhengig av R kan en likhetstransformasjon være orienteringsbevarende (direkte) eller orienteringspreserende (indirekte).

Egenskaper: Likhetstransformasjoner bevarer vinkler og følger av at de består av en isometri etterfulgt av en uniform skalering. Hullene av firkanter og trekanter beholder forholdet mellom sidelengder; trekanter som er likeformer vil være bilder av hverandre under en likhetstransformasjon. Alle sirkler kartlegges til sirkler eller bortkastede linjer til linjer.

Kategori og anvendelser: Likhetstransformasjoner danner gruppen av similituder (similitude group) og brukes i geometri for å definere og studere lignhet mellom figurer. De kommer også til nytte i bilderedigering, datagrafikk, mønstergjenkjenning og arkitektur når man skal analysere former uavhengig av størrelse. Eksempelvis kan en trekant transformeres til en tilsvarende trekant ved blanding av rotasjon, skaleringsfaktor og translasjon.