kuvaalueille

Kuva-alue on matematiikassa sitä joukkoa, jonka muodostaa funktion tulokset. Olkoon f: X → Y ja A ⊆ X. Tällöin kuva-alue f(A) on joukko { f(x) | x ∈ A }. Kun A = X, puhutaan kuvan kokonaisalueesta tai kuvapopista Im(f) ja siitä, mihin arvoihin f pystyy vaikuttamaan.

Kuva-alueen keskeiset ominaisuudet liittyvät yhdistämiseen ja leikkauksiin. Jokainen yhdiste A ∪ B antaa f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B). Leikkausominaisuus pätee vain epäyhtälöisesti: f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B). Jos f on päinvastoin surjektio (kattava), niin f(X) = Y, eli kokonaiskuva kattaa koko codomainin. Jos taas f on injektio, kuva-alueen rakenne voi silti olla monimutkainen riippuen A:n valinnasta.

Esimerkki: Olkoon f(x) = x^2 ja X = R. Tällöin kuvan kokonaisalue on [0, ∞). Jos A = [-1, 1], f(A) = [0, 1].

Kuva-alue ja esikuva ovat eri käsitteitä. Esikuvaksi (preimage) tarkoitetaan joukkoa f^{-1}(B) = { x ∈ X | f(x) ∈ B }, joka on joukko arvoja X:stä, jotka lähettävät B:n arvoja tuloksiin B. Tämä ero on tärkeä, kun tarkastellaan sekä kuva-alueita että esikuvia samanaikaisesti.

Käytännössä kuva-alue (image) ja termi kuva-alueet ovat keskeisiä monissa analyyttisissä ja algebraellisissa yhteyksissä sekä opetustekstissä. Suomenkielinen vastine englannin termsille image tai range on kuva-alue. Kuva-alueille-ilmauksia käytetään kieliopillisesti ilmaisemaan suunnattua kohdistumaa, esimerkiksi lauseissa, joissa kerrotaan minne arvojen tulee kuulua.