integraalilauseiden

Integraalilauseet ovat matemaattisia lauseita, jotka yhdistävät integraaleja ja derivaattoja. Ne ovat keskeisiä työkaluja useilla matematiikan ja fysiikan aloilla, kuten differentiaalilaskennassa ja integraalilaskennassa. Yleisimmin tunnettu integraalilause on Newton-Leibnizin lause, joka tunnetaan myös analyysin peruslauseena. Tämä lause toteaa, että funktion derivaatan määrätty integraali suljetulla välillä on yhtä suuri kuin funktion arvojen erotus kyseisen välin päätepisteissä. Toisin sanoen, jos F'(x) = f(x), niin integraali a:sta b:hen f(x) dx on F(b) - F(a).

Muita tärkeitä integraalilauseita ovat esimerkiksi Greenin lause, Stokesin lause ja divergenssilause. Greenin lause liittää tasokäyrän yli lasketun linja-integraalin ja kyseisen käyrän rajaaman alueen yli lasketun kaksoisintegraalin. Stokesin lause puolestaan yleistää Greenin lauseen kolmessa ulottuvuudessa ja yhdistää pinnan yli lasketun pinta-integraalin ja kyseisen pinnan reunakäyrän yli lasketun linja-integraalin. Divergenssilause, joka tunnetaan myös Gaussin lauseena, yhdistää vektorikentän divergenssin integraalin tilavuuden yli ja kyseisen tilavuuden rajaaman pinnan yli lasketun vuon. Nämä lauseet tarjoavat tehokkaita tapoja laskea integraaleja muuntamalla ne toisentyyppisiksi integraaleiksi tai yksinkertaisemmiksi laskutoimituksiksi.