idfüggvénye

Az identitásfüggvénynek, gyakran idfüggvénynek nevezik, egy olyan függvény, amely minden elemet a saját értékére küld. Ha X halmaz, akkor id_X: X → X definíció szerint id_X(x) = x minden x ∈ X. Gyakran röviden id_X-nek írják és a függvénykompozíció semleges elemeként jellemzik.

Tulajdonságok: Az identitásfüggvény a függvénykompozíció semleges eleme: bármely f: X → Y esetén f ∘ id_X = f és id_Y ∘ f = f. Invertálható, és invertense maga id_X, mert id_X ∘ id_X = id_X. Az id_X bijekció, és minden elemhez egyedi kép tartozik, amely szintén X-ben van.

Grafikusan: id_X grafja az X×X halmazon a diagonális, azaz {(x, x) | x ∈ X}.

Példák és kontextusok: Ha X = R, akkor id_R: R → R, id_R(x) = x. Lineáris algebrában az I_n identitásmátrix az n-dimenziós vektortér identitásfüggvényét valósítja meg koordinátarendszerben. Kategóriaelméletben minden objektumhoz hozzárendelnek egy identitásmorfizmust id_X: X → X, és ezek a morfolizmusok a komponálás axiótáinak fontos részét képezik.

Összegzés: Az identitásfüggvény alapvető koncepció, amely minden elemre hűen megőrzi az értéket, és a függvények közötti semleges elemként szolgál a kompozícióban.