hermitefunktiot

Hermitefunktiot ovat joukko ortogonaalisia polynomeja, jotka liittyvät läheisesti normaaliin jakaumaan. Ne on nimetty ranskalaisen matemaatikon Charles Hermiten mukaan. Nämä funktiot määritellään yleensä rekursiivisesti ja niillä on useita tärkeitä ominaisuuksia, jotka tekevät niistä hyödyllisiä eri sovelluksissa.

Perinteisesti Hermitefunktioita määritellään kahdella eri tavalla: määritelmä, joka liittyy Gaussin funktioon, ja määritelmä, joka liittyy Poissonin jakaumaan. Nämä määritelmät johtavat hieman erilaisiin skaalaustekijöihin, mutta itse polynomit ovat samat. Ensimmäiset Hermitefunktiot ovat H0(x) = 1, H1(x) = 2x, H2(x) = 4x^2 - 2 ja H3(x) = 8x^3 - 12x.

Ortogonaalisuus on keskeinen ominaisuus. Hermitefunktiot ovat ortogonaalisia painofunktion exp(-x^2/2) suhteen välillä (-ääretön, ääretön). Tämä tarkoittaa, että kahden eri Hermitefunktion integraali yli tämän välin, painotettuna exp(-x^2/2):lla, on nolla. Tämä ortogonaalisuusominaisuus on hyödyllinen funktioiden esittämisessä Hermitepolynomien sarjana, mikä on analogista Fourier-sarjoille.

Hermitefunktioilla on sovelluksia monilla aloilla. Ne esiintyvät kvanttimekaniikassa yksinkertaisen harmonisen oskillaattorin energiatilojen ratkaisuissa. Tilastotieteessä niitä käytetään tietyntyyppisten todennäköisyysjakaumien analyysissä ja approksimoinnissa. Lisäksi niitä löytyy signaalinkäsittelystä ja numeerisesta integroinnista, erityisesti Gaussin neliöimisessä. Niiden yhteys stokastisiin prosesseihin on myös merkittävä.