generatoarelor

Generatoarele sunt elemente sau mulțimi de elemente dintr-o structură matematică care permit reconstruirea întregii structuri prin aplicarea operației definite pe acea structură. În acest sens, structura este spusă a fi generată de aceste elemente. Conceptul este folosit în grupuri, spații vectoriale, inele și alte contexte algebrice, precum și în teorii conexe.

În grupuri, o mulțime S este generator pentru grupul G dacă fiecare element al lui G poate fi exprimat ca un produs al elementelor din S și, în grupuri, ale inverselor acestora. Dacă un singur element generează tot grupul, atunci grupul se numește grup ciclic. De exemplu, numerele întregi Z sub operația de adunare sunt generate de 1 (și de -1).

În spații vectoriale, o mulțime de vectori este generator dacă span-ul lor este întregul spațiu. De exemplu, în R^n, mulțimea vectorilor e1, e2, ..., en generează spațiul, iar orice set de n vectori liniarly independenți generează același spațiu.

În general, o structură poate fi finit generată dacă există un număr finit de generatoare, iar un set este numit generator minimal dacă eliminarea oricărui element face ca structura să nu mai fie generată de acel set. Conceptul se aplică de asemenea la făurirea substructurilor, la studiul independenței vectoriale și la clasificarea obiectelor algebrice.

Aplicativ, identificarea generatoarelor simplifică descrierea și calculul în teorii precum teoria grupurilor, teoria spațiilor vectoriale și studiul algebrelor.