faktoreerimissüsteemis

Faktoreerimissüsteem on kategoorias definitsioon, mille abil jagatakse kõik morfismid kaheks klassiks L ja R. Täpsemalt on (L, R) faktoreerimissüsteem kategoria C jaoks selline, et iga morfism f: X → Y faktoriseerub f = r ∘ l, kus l: X → Z kuulub L ja r: Z → Y kuulub R. Lisaks peab L-l olema vasak lifting-omadus R-i suhtes ning R-l olema parem lifting-omadus L-i suhtes. L ja R sisaldavad isomorfe ning on suletud retraktide all. Tavaliselt on L pullback-stabiilne ja R pushout-stabiilne.

Mõiste hõlmab tugeva või orthogonaalse faktoreerimissüsteemi piiranguid. Orto­gonaalne (või tugev) faktoreerimissüsteem nõuab, et igas vahetuses on lõpptulemusena ainus tõstetäidetorn ja täpne diagonal, mis tagab eksistentsi ja unikaalsuse.

Näited ja tähendus: Seti kategoorias vormib epimorphismide (surjektsioonide) ja monomorphismide (injektioonide) paar sageli faktoreerimissüsteemi, kuna iga funktsioon f faktoriseerub f = i ∘ p, kus p on surjektivne ja i on injectiivne; ning L-i ja R-i vahel toimub vastav liftimissüsteem. Sarnaseid faktoreerimissüsteeme leidub paljude algebrlike kategooriate jaoks, näiteks Grp, Ab ja Mod_R, kus surjektsioonid ja monomorphismid annavad sobivaid klasside paare.

Rakendused ja seosed: faktoreerimissüsteeme kasutatakse üldkategoorilises algebra ja homotopias, kus need annavad viisi morfismide jaotamiseks ning konstruktsioonide haldamiseks. Need on osa suuremast raamistikust, millega defineeritakse modelleamisstruktuure ja seostatakse loomulike adjunktsioonide ning õigete tõstmiste omaduste kaudu.