exponettiaalijakaumia

Exponettiaalijakaumat (monikko) ovat jatkuvan jakauman perhe, jota käytetään usein ajanhetkien tai viivästysten mallintamiseen Poisson-prosessissa. Yleisin parametrointi on nopeusparametri λ > 0. Tiheysfunktio on f(x|λ) = λ e^{−λ x} kun x ≥ 0, ja skaala-parametri on θ = 1/λ, jolloin tiheys voidaan kirjoittaa myös f(x|θ) = (1/θ) e^{−x/θ} kun x ≥ 0.

Kertymä- ja momenttitoiminnot: CDF on F(x|λ) = 1 − e^{−λ x}, kun x ≥ 0. Odotusarvo on E[X] = 1/λ ja varianssi Var(X) = 1/λ^2 (tai θ^2, kun käytössä skaala-parametri). Yksinkertainen muoto on, että jakauma on muistamattomuusominaisuuden omaava, eli P(X > s+t | X > s) = P(X > t). Hazardi on h(x) = λ, eli se on niin sanotusti vakaa.

Suhteet ja kertaluvut: Summa n riippumattomista identtisenä exp(λ) -jakauman havainnoista on Gamma(n, λ) -jakauma. Tämä liittyy Poisson-prosessin odotettuihin aikaväleihin, joissa intervaalit ovat exp(λ)-jakauman mukaisia.

Sovellukset: käytetään yleisesti järjestelmäaikojen, palveluaikojen ja varautumisen mallintamiseen sekä luotettavuus- ja elinkaariarvioinneissa sekä verkoissa ja palveluverkostoissa. Parameterien estimaatio tapahtuu usein maksimista todennäköisyydestä (MLE): λ̂ = n / ∑ x_i. Kannassa on myös yhteyksiä gamma- ja Weibull-jakaumoihin.