exponentialfördelad

Exponentialfördelningen är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning som används för att modellera väntetider mellan händelser i en Poisson-process. Den har stöd x ≥ 0 och kännetecknas av en konstant hazardrate λ, där λ > 0 är hastigheten mellan händelser.

Sannolikhetsfunktion och fördelningsegenskaperna beskrivas ofta med två parametriseringar. Den vanligaste är PDF:n f(x) = λ e^{-λ x} för x ≥ 0, med CDF:n F(x) = 1 - e^{-λ x}. En alternativ parametrisering använder skalan θ = 1/λ, där f(x) = (1/θ) e^{-x/θ} för x ≥ 0. Förväntat värde och varians är E[X] = 1/λ och Var(X) = 1/λ^2.

Exponentialfördelningen har flera centrala egenskaper. Den är minneslös: P(X > s + t | X > s) = P(X > t) för alla s, t ≥ 0. Momentgenererande funktion är M(t) = λ/(λ - t) för t < λ. Den är jämn med konstant hazard och uppvisar därmed en konstant risk över tiden.

Relationer till andra fördelningar: Summan av n oberoende exponentiella variabler med samma λ följer en gammafördelning med formparameter n och rate λ (även kallad Erlang-fördelning). Detta kopplar exponentialfördelningen till Poissonprocessens interarrival-tider.

Användningar och estimering: Den används ofta för att modellera väntetider i köer, livslängder och tillförlitlighetstillämpningar. Parameter λ kan skattas med maximum likelihood som λ̂ = n / ∑ x_i, där data är uppmätta interarrival-tider. En alternativ tvåparametrisering används ibland i praktiken via θ = 1/λ.