epätäydellisyysteoremoihin

Epätäydellisyysteoreemoihin viitataan yleisesti Gödelin epätäydellisyysteoreemina. Ne osoittavat, että riittävän vahvan, johdonmukaisen muodollisen järjestelmän sisällä on lauseita, joita ei voida todistaa järjestelmän omilla säännöillä, vaikka ne ovat totuuksia standardin tulkinnan mukaan.

Ensimmäinen epätäydellisyysteoreema: Riittävän vahvan ja johdonmukaisen muodollisen järjestelmän F sisällä on lause G, jota F ei voi todistaa todeksi. Lisäksi G voidaan katsoa todeksi aritmetiikan standardin tulkinnan perusteella. Tämä osoittaa, että totuuden ja todistuksen välillä voi olla ero.

Toinen epätäydellisyysteoreema: Riittävän vahva ja johdonmukainen järjestelmä F ei voi todistaa omaa johdonmukaisuuttaan. Tämä rajoittaa järjestelmän kykyä vakuuttaa itsensä täydellisyydestä ja on yksi syy Hilbertin ohjelman rajoitteisiin.

Teoreemien todistamiseen liittyy keskeisiä teknisiä keinoja kuten Gödelin numeroijaminen, aritmetisaatio ja diagonaalinen lemma sekä itseviittaus. Epätäydellisyysteoreemit ovat vaikuttaneet merkittävästi matemaattisten perustusten tutkimukseen sekä Hilbertin ohjelman tavoitteiden käytännölliseen uudelleenarviointiin.