ekvivalentsusklassideks

Ekvivalentsusklassideks on mõiste hulgal A kuuluvate elementide grupeerimine ekvivalentsusrelatsiooni alusel. Kui ~ on ekvivalentsusrelatsioon A peal, defineeritakse iga a ∈ A ekvivalentsusklass [a] = { x ∈ A | x ~ a }. Hulgast A/~ moodustuvad kõik need klassid ning see kogum esindab elemente, mis on omavahel seotud sama relatsiooniga.

Ekvivalentsusrelatsioon peab olema refleksivne, sümmeetriline ja transitiivne. Ekvivalentsusklassid on omavahel disjunktid ja nende liit on võrdne kogu hulgaga A. Iga element kuulub täpselt ühte klassi, seega liigub kokku kõik klassid ning klassid kujutavad hulgast A “kokkuvõttega” võrdluse sarnasuskriitiumi.

Näited. Üks põhinäide on kongruentsus modulo n: a ~ b, kui n jagab (a − b). Sellisel juhul jaotub Z jääkklassideks [0], [1], ..., [n−1], mida nimetatakse jääkklassideks või ümberkujundatusteks Z_n. Teine näide on sama pariteet: a ~ b, kui a − b on paaris. Siis jaguneb hulk kaheks klassiks: paaris ja paaritu.

Kasutus. Ekvivalentsusklassid ja nende kvoti-hulk A/~ on alus paljude konstruktsioonide jaoks algebras ja geomeetrias. Nt Z_n moodustab ühtse ringi või kehtivad õiged definitsioonid funktsioonide ja operatsioonide jaoks, kui need on hästi defineeritud ülespoole klasside suhtes. Ekvivalentsusklassid pakuvad viisi identiteedi jaotuse ning uute struktuuride loomiseks, identifitseerides elemendid, mis on relatsioonis samas klassis.