dreifigreining

Dreifigreining er heildarsvartna heildun á þrívíddarrúmi. Dreifigreiningin er táknuð ∭_E f(x,y,z) dV, þar sem E ⊂ R^3 og dV er rúmmálseiningin, oft dx dy dz í kartesískum hnitum. Gildið gefur heildargildi af magni f sem dreifist yfir E; t.d. massa ef f er massaþéttleiki.

Eðli og nálganir. E mesur með mörkum sem lýsa svæðinu: í kartesískum hnita má x liggja á bilinu [a,b], y á [g1(x), g2(x)], z á [h1(x,y), h2(x,y)]. Fubíní setningin gerir kleift að skrifa dreifigreiningu sem endurtekinra samþættingar: ∫_a^b ∫_{g1(x)}^{g2(x)} ∫_{h1(x,y)}^{h2(x,y)} f(x,y,z) dz dy dx. Ef f er samþættanlegt og E hefur endanlegt rúmmál eru gildin óháð röð samþættingar.

Hnitakerfi og umbreytingar. Einnig er algengt að nýta önnur hnitaform til að gera samþættingar auðveldari: cylindrical hnital (x = r cosθ, y = r sinθ, z = z) með dV = r dr dθ dz; spherical hnital (ρ, φ, θ) með dV = ρ^2 sinφ dρ dφ dθ. Þegar umbreytingu er notuð til nýrra hnita er Jacobian-stöðluð stærð J notuð: ∭ f(x(u,v,w)) |J| du dv dw.

Viðfangsefni og notkun. Dreifigreiningu má nota til að finna rúmmál svæða (þegar f = 1), massa með þéttleika f, augn- og massamiðju, fyrir prófsskáningu eða líkindalíkön þar sem heildun þarf að fara fram yfir þrjú vídd.

Dæmi. Volúmunitu kúlunnar: ∭_{x^2+y^2+z^2≤1} dV = ∫_0^{2π} ∫_0^{π} ∫_0^{1} ρ^2 sinφ dρ dφ dθ = 4π/3.