divergensegenskaper

Divergensegenskaper, eller egenskaper hos divergensen, beskriver hvordan en vektorfelt oppfører seg i hvert punkt i rommet. For et vektorfelt F = (F1, F2, F3) i tre dimensjoner er divergensen definert som ∇·F = ∂F1/∂x + ∂F2/∂y + ∂F3/∂z. Den måles i enheter som tilsvarer fluks per volumsenhet og tolkes som en lokal kilde- eller avsinkdensitet; positiv divergensegn gir kilder, negativ gir synker.

Nøkkelegenskaper inkluderer:

- Linearitet: ∇·(aF + bG) = a∇·F + b∇·G for skalarer a og b og vektorfelt F, G.

- Produktregel: ∇·(φF) = ∇φ · F + φ ∇·F for et skalarfelt φ.

- Divergensen av curl er alltid null: ∇·(∇×F) = 0.

- Relasjon til Gauss’ teorem: integralet av divergensen over et volum V er lik overfladeintegralet av F over flensen S omkring V.

Formelt kan divergensen også uttrykkes i andre koordinersystem og i generelle dimensjoner. I n-dimensjonalt rom er uttrykket ∇·F definert analogt, og det kan uttrykkes ved hjelp av determinanter og metriske faktorer i kurvilineære koordinater.

Bruksområder omfatter fluiddynamikk og kontinuitetslikninger (∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0), elektromagnetisme (gauss' lov, ∇·E = ρ/ε0), meteorologi og andre felt der fluidstrømmer eller feltkilder beskrives. Eksempelvis har F = (x, y, z) divergensegn 3, mens F = (−y, x, 0) har divergensegn 0. Divergensegenskaper er derfor sentrale i å analysere kilder, flux og bevaring i fysiske systemer.