differentiálhatóak

A differenciálhatóak kifejezés a matematikában olyan függvényekre utal, amelyek meghatározott pontjaikban differenciálhatók. Egy f: U ⊆ R^n → R^m függvény esetén x0 ∈ U-ban f differenciálható, ha létezik egy lineáris leképezés L: R^n → R^m, amelyre f(x0 + h) − f(x0) − Lh = o(||h||) a h → 0 esetén. A lineáris leképezés a függvény helyi lineáris közelítését adja, ezt nevezzük deriválnak vagy Jacobiannak. Ha m = 1, a derivált egy n×1-es vektor, amelyet gyakran gradientként kezelnek.

A differenciálhatóság megkülönböztetése a folytonosságtól: minden differenciálható függvény folytonos, de a folytonos függvény nem feltétlenül differenciálható. A differenciálhatóság pontszerűen értelmezhető és meghatározható tartományon keresztül is (például C^1, C^k osztályok). Fontos, hogy a differenciálhatóság erősebb szabályosságot ad a függvényre.

Példák: f(x) = x^3 valós függvény minden pontjában differenciálható; f(x) = |x| nem differenciálható a 0 pontban. Többváltozós példák: f(x,y) = x^2 + y^2 differenciálható minden (x,y) pontban; f(x,y) = |x| + |y| nem differenciálható a (0,0) pontban. Ezek szemléltetik, hogy a helyi lineáris közelítés megléte határozza meg a differenciálhatóságot.

Kapcsok: a differenciálhatóság alapja a láncszabály és a szorzat-szabály; ezek vezetik a kalkulus gyakorlati alkalmazásait. Fejlettebb formái közé tartozik a Fréchet-differenciálhatóság és a simaság (C^1, C^∞), illetve az analitikus függvények kapcsolata a differenciálhatósággal.