differenciálformák

A differenciálformák (vagy differenciálformák) olyan sima k-formák, amelyeket egy sima sokaságon (Manifold M) definiálnak. Minden ponton ω_p egy antiszimmetrik kovariáns k-tensor, amely k tangensegyedekből vett lineáris leképezést R^k → R ad. Helyi koordinátákban ω = ∑ f_I dx^{i1} ∧ ... ∧ dx^{ik}, ahol I = (i1 < ... < ik) és a f_I sima függvények. A k=0 esetben funkciókról, a k=1 esetben 1-formákról beszélünk; k=n esetén pedig volumenformákról.

Az algebrai szerkezet egy graduált algebra: Ω^*(M) = ⊕_k Ω^k(M), amelyet a ∧ (szög) operátor ad. A szög-texelés flag-alkalmazásaira vonatkozó tulajdonság: α ∈ Ω^k, β ∈ Ω^l, then α ∧ β = (-1)^{kl} β ∧ α; a k-formák térfogatát a wedge termeli. A k-formák dimenziója a ponton C(n,k), ahol n M dimenziója.

Exterior derivative d: Ω^k(M) → Ω^{k+1}(M). A sajátosságai: d^2 = 0 és d(α ∧ β) = dα ∧ β + (-1)^k α ∧ dβ. Helyi koordinátákban d f = ∑ ∂f/∂x^i dx^i; d(dx^i) = 0, és általánosan a d fejezhető ki.

Integráció és Stokes-tétel: egy orientált k-szeletre értelmezett k-formát be lehet olvasztani. Stokes-tétel szerint ∫_M dω = ∮_{∂M} ω, amely a fundamentális összefüggést adja meg a differenciál- és a felületintegrálok között.

Alkalmazások: a pullback φ^*: Ω^k(M) → Ω^k(N) természetes módon előállítható, és d φ^* = φ^* d. A differenciálformák a de Rham-koho-mológiában vizsgálhatóak (H^k_dR(M) = ker d / im d). Fizikában a Maxwell-egyenletek és a mezők leírására is használják.

---