determinantteihin

Determinantti on n × n -kokoisen neliömatriisin ominaisluku, joka on skalaari arvo. Se kuvaa lineaarisen kuvauksen tiiviyttä ja tilavuusmuutosta sekä kertoo, onko matriisi käänteinen. Esimerkiksi 2 × 2 -matriisin determinantti A = [[a, b], [c, d]] on ad − bc, ja suuremmille mitoille determinantti määritellään vastaavasti monimutkaisemmilla kaavoilla tai käytännössä rivien reduktiolla.

Determinantilla on useita keskeisiä ominaisuuksia. Se on kertolaskun mukainen: det(AB) = det(A) det(B). Transponoinnista pidetään: det(A^T) = det(A). Skalaarin kertoimesta: det(kA) = k^n det(A), missä n on matriisin A koko. Ytimekäs muutos on, että det(A) = 0 tarkoittaa, ettei A ole käänteinen (A on singulaarinen), ja det(A) ≠ 0 tarkoittaa, että A on käänteinen ja sen determinantti muuttaa tilavuutta ei-nollasti. Royalsääntöjä: det(I) = 1 ja det(T) on niiden neliömahdollistan diagonaalialkioiden tulos, kun T on malli- tai kulmikastriangiulaarinen.

Laskeminen käytännössä: suurien matriisien determinantteja ei yleensä lasketta Laplace-kehittimellä vaan rivien vähentelyllä tai LU-/QR-dekompositioneilla. Triangularisella matriisilla determinantti on diagonaalialkioiden tulo, ja ruutujen vaihtaminen vaihtaa merkin. Sijoituksissa determinantti liittyy lineaarisen kuvauksen tilavuus- ja suuntaominaisuuksiin.

Sovelluksia löytyy lineaarialgebrasta ja geometriasta: determinantti ilmenee lineaaristen järjestelmien ratkaisumyötäisyydessä, Cramerin säännössä sekä tilavuuden ja alueiden laskennassa sekä kuvauksen suunnan määrittämisessä. Determinantteihin liittyy keskeinen rooli monissa matemaattisissa yhteyksissä ja laskentamenetelmissä.