derivatsioonis

Derivatsioon on kalkuluse põhikontseptsioon, mille käigus määratakse funktsiooni kohene muutumise kiirus sõltuvas muutujas. Seda tähistatakse sageli f'(x), df/dx või Df(x). Kui piir lim h→0 (f(x+h)−f(x))/h olemas, on see väärtus f'(x). Derivatsioon näitab graafi tangendi kallet ning võimaldab teha lokaalseid lineaarseid ligikaudatusi: f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x−x0).

Diferentseeruvus tähendab, et derivatsioon olemasolevas kohas eksisteerib; iga derivatiivne punkt on pidev, kuid pidevus ei taga alati derivatiivset. Põhireeglid: d/dx x^n = n x^{n−1} (n∈N); d/dx (u+v) = u' + v'; d/dx (uv) = u'v + uv'; d/dx (u/v) = (u'v − uv')/v^2; d/dx f(g(x)) = f'(g(x)) · g'(x). Klassikalised näited: d/dx sin x = cos x, d/dx e^x = e^x.

Rakendused hõlmavad kõiki valdkondi, kus on vaja muutuste kiirust: füüsikas on kiirus (dx/dt) ja kiirendus (d²x/dt²); majanduses on marginaalne muutus, näiteks marginal cost või demand; inseneriteadustes ja vaatlusalases modelleerimises annab derivatsioon mitmesuguseid kiiruse- ja kalliandmeid.

Laiendused hõlmavad mitmemõõtmelist funktsiooni dérivatsioone: osalised derivatsioonid ∂f/∂x, gradient ∇f ja Hessian. Seoses integraaliga moodustavad derivatsioon ja integreerimine Fundamentaalse tõe kaudu pöördfunktsioonid, ning erinevaid piirutusreegleid nagu L’Hôpitali reegel.