derivaatteiden

Derivaatta on keskeinen käsite differentiaalilaskennassa. Se mittaa funktion muutosnopeutta pisteessä. Yksinkertaisimmillaan derivaatta voidaan ajatella funktion kuvaajan tangentin kulmakertoimena kyseisessä pisteessä. Funktion derivaatta on itsessään uusi funktio, joka kertoo alkuperäisen funktion muutosnopeuden jokaisessa pisteessä.

Derivaatan määritelmä perustuu raja-arvoon. Jos funktio on f(x), sen derivaatta pisteessä x, merkitään f'(x), määritellään raja-arvona: lim (h -> 0) [f(x+h) - f(x)] / h. Tämä raja-arvo kuvaa, kuinka paljon funktion arvo muuttuu, kun syöte muuttuu hyvin vähän. Jos tämä raja-arvo on olemassa, funktio on derivoituva kyseisessä pisteessä.

Derivaatoilla on lukuisia sovelluksia. Niitä käytetään optimointiongelmissa löytämään funktion maksimi- ja minimiarvot, nopeuden ja kiihtyvyyden laskemisessa fysiikassa sekä taloustieteessä esimerkiksi rajatuotteiden laskemisessa. Derivaattojen avulla voidaan myös tutkia funktion kulkua, kuten missä se kasvaa tai vähenee, ja löytää sen käännepisteet.

Yleisimmille funktioille on olemassa valmiita derivaattasääntöjä, jotka nopeuttavat derivaatan laskemista. Näitä ovat esimerkiksi potenssisääntö, tulosääntö, osamääräsääntö ja yhdistetyn funktion derivointisääntö. Näiden sääntöjen avulla monimutkaistenkin funktioiden derivaatat voidaan johtaa systemaattisesti.