convergenssi

Konvergenssi on yleinen käsite matematiikassa, tilastotieteessä ja laskennassa, jossa jokin järjestelmä, sarja tai toiminto lähestyy määriteltyä raja-arvoa tai ratkaisua. Tavallisessa luvuttomien jonoissa konvergenssi tarkoittaa, että termien arvot ovat yhä lähempänä tavoitearvoa. Esimerkiksi jono a_n konvergoi luvulle L, jos lim_{n→∞} a_n = L. Tällöin jokaiselle ε > 0 on olemassa N, jotta n ≥ N ⇒ |a_n − L| < ε.

Konvergenssia tarkastellaan monissa konteksteissa. Jonoille puhutaan pistekonvergenssista, kun jokainen termi lähestyy samaa rajaa; funktiot parittain konvergoivat pisteellisesti, jos jokaiselle x tietyllä alueella f_n(x) → f(x). Sarjoille konvergenssi tarkoittaa, että osasummat s_N = Σ_{n=1}^N a_n lähestyvät murtolukua tai kokonaisarvoa S. Reaalilukujen konvergenssia analysoidaan usein myös tasaisen konvergenssin (uniform convergence) ja pistetason konvergenssin eroa.

Muita merkittäviä konvergenssilajeja ovat konvergenssi jakaumassa, konvergenssi todennäköisyydellä (lupaavissa satunnaisprosesseissa) ja konvergenssi L^p-tilassa, jossa funktiot f_n lähestyvät f normin p mukaan. Numerisessä laskennassa konvergenssi liittyy iteratiivisten menetelmien haltuunottoon: iteroinnit x_k lähestyvät todellista ratkaisua, ja konvergenssin nopeutta mitataan esimerkiksi lineaarisella tai quadratischisella nopeudella.

Esimerkkejä: geometrinen sarja Σ r^n konvergoi, jos |r| < 1, ja sen summaksi saadaan a/(1−r). Kumoamalla tämä perussääntö konvergenssia voidaan tarkastella sekä funktion että luvun tasolla.