binomiaalilausekkeen

Binomiaalilauseke viittaa kahden luvun summan korotettuun potenssiin n liittyvään lauseeseen, jonka avulla (a+b)^n voidaan kirjoittaa yhdeksi termien summaksi. Lausekkeen voimassaolo kohdistuu n:iin ei-negatiivisena kokonaislukuna. Kaava on (a+b)^n = ∑_{k=0}^n C(n,k) a^{n−k} b^k, jossa C(n,k) on binomiaalikertoimet.

Binomiaalikertoimet C(n,k) määritellään n!/(k!(n−k)!). Ne kertovat moninkertaisen valintojen määrän: C(n,k) vastaa tapoja valita k kappaletta b:n sisältäviä tekijöitä n tekijästä. Näiden kertoimien sarja muodostuu Pascalin kolmiosta, joka havainnollistaa kertomien kasvua ja niiden suhteellisia arvoja.

Esimerkki: (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3.

Yleistäminen: Newtonin binomiaalilauseke laajentaa idean ei-pääasiassa α-arvolle: (1+x)^α = ∑_{k=0}^∞ C(α,k) x^k, missä C(α,k) = α(α−1)...(α−k+1)/k!. Tämä sarja convergoi kun |x| < 1, ja se antaa jatkuvan laajennuksen reaalisille tai kompleksisille eksponentseille.

Käyttöalueet kattavat algebran ja combinatoricsin peruslaskut sekä todennäköisyyslaskennan ja sarjojen kehittämisen, joissa binomiaalikertoimet ja niiden visuaalinen yhteys Pascalin kolmioon ovat hyödyllisiä.