binomiaalien

Binomiaalit ovat matemaattisia lausekkeita, jotka koostuvat kahdesta termistä yhdistettynä plus- tai miinusmerkille. Yleisiä esimerkkejä ovat (a + b) ja (x − y).

Binomiaalin n:nen potenssin laajentaminen noudattaa kaavaa: (a + b)^n = ∑_{k=0}^n C(n,k) a^{n−k} b^{k}. Tässä C(n,k) on binomiaalikerroin, jonka määritelmä on C(n,k) = n!/(k!(n−k)!). Binomiaalikerroimet muodostavat taulukon, jota kutsutaan Pascalin kolmioksi.

Binomiaalikertoimet antavat combinatorisen tulkinnan: C(n,k) kertoo, kuinka monella eri tavalla voidaan valita k termiä n:stä. Tämä näkyy, kun laajennetaan polynomi sanallisesti, tai kun tuloksia tulkitaan valintojen määränä.

Sovelluksia on sekä algebrassa että tilastotieteessä. Algebrassa binomiaalit helpottavat polynomien laajentamista. Tilastotieteessä binomijakauma antaa todennäköisyyksiä: P(K = k) = C(n,k) p^k (1−p)^{n−k}.

Esimerkki: (a + b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4a b^3 + b^4. Binomiaalit muodostavat perustan monille alueille, kuten algebralle, kombinatorikkaan ja tilastotieteelle.