bijektiota

Bijektio on matemaattinen funktio f: A → B, joka on sekä injektio että surjektio. Tämä tarkoittaa, että jokaiselle b ∈ B löytyy täsmälleen yksi a ∈ A sellainen, että f(a) = b, ja jokainen a kuuluu jonkin kuvan piiriin. Toisin sanoen f on yksi–yhteen ja koko B:n kattava kuvaus.

Jos f on bijektio, sillä on käänteisfunktio f^{-1}: B → A, joka palauttaa alkion A sen kuvan perusteella. f^{-1} on myös bijektio, ja pätee f^{-1}(f(a)) = a sekä f(f^{-1}(b)) = b.

Ominaisuudet ovat keskeisiä: bijektio säilyttää kardinaliteetin, eli jos f on bijektio A → B, niin |A| = |B|. Kompositio kahden bijektion kanssa on aina bijektio, ja käänteinen bijektio on myös bijektio. Esimerkki: f: Z → Z, f(n) = n + 1 on bijektio, sen käänteisfunktio on f^{-1}(n) = n − 1. Esimerkki ei-bijektiosta: f: N → N, f(n) = n + 1 on injektio mutta ei surjektio, joten ei ole bijektio.

Käytännössä bijektiot kuvaavat yhdenmukaisia rakenteita: ne ovat perusoikausta luokille, joissa etsiä tai todistaa kardinaliteettien yhtäsuuruutta. Permutaatioiden kaltainen käyttö on yleistä, ja bijektioita hyödynnetään laajalti kombinatoriikassa, algebrassa ja teorian todistuksissa, kun halutaan osoittaa kahden joukon olevan yhtä suuret tai määritellä vastinkuvauksia.