ajasfunktsiooni

Ajasfunktsioon ehk time function on reaalväärtuslik funktsioon f: M → R, kus M on aegruum (spacetime). Selline funktsioon on defineeritud nii, et iga tulevikule suunatud kausaalse kõvera korral täidetakse f(p) < f(q) kui punktid p ja q on kausaalselt seotud ja p eelneb q. Teisisõnu, ajafunktsioon kasvab kausaalse järjekorra suunas.

Kui lisaks on f sile ehk sujuv ning selle gradient on timelike igas punktis (ja tavaliselt past-directed), nimetatakse seda funktsiooni ajas (temporal) funktsiooniks. Temoraalsed funktsioonid annavad ruumi-aega hästi korraldatud foliatsiooni: nende tasandid on mittekriitilised alamhulgad, mis sageli on ruumilised hüperpinnad.

Omadused ja tähendus: ajafunktsioonid kirjeldavad sündmuste “ajaseisundit” ja võimaldavad spacetme kausaalse struktuuri paremini korraldada. Neid kasutades saab kirjeldada globalset foliaatsiooni ehk ruum-aeg jagada järjepidevatesse kihtidesse, millest igaüks on ruumiline kiht. See on oluline abstraktse relatiivsusteooria ja matemaatilise füüsika jaoks, näiteks algusväärtusprobleemide lahendamisel ja kausaalsete omaduste uurimisel.

Näited ja tulemused: Minkowski ruumis on tavaliselt koordinaat-aeg t ajafunktsioonina. Globally hyperbolic spacetime-ide puhul on olemas pidev ajafunktsioon, mille tasandid on Cauchy-pinnad; tugevam tulemus (Bernal–Sánchez) näitab ka olemasolu sile ajafunktsioonina. Need tulemused võimaldavad ruumiögri ja ajavahemike selges jaotuses teostada globaalseid kausaalseid ja dünaamilisi analüüse.

Seosed ja rakendused: ajafunktsioonid on keskmes causality-, global hyperbolicity- ja foliation-teoorias ning neid kasutatakse esmasele väärtuseprobleemide ja kvantumigravitatsiooni uuringutele kaasaaitamiseks.