aikadiskretisointia
Aikadiskretisointia tarkoittaa menetelmien ryhmää, joilla jatkuva aikadifferentialtuloste muunnetaan numeerisesti ratkaistavaksi. Tavoitteena on ratkaista dynaaminen järjestelmä, kuten x'(t) = f(t, x(t)) tai x_t = F(t, x), tilastollisesti määriteltyjen aikaväleihin sijoitettujen pisteiden avulla. Aikaväli jaetaan tasaisin tai epäjatkuvin askelin: t_n = nΔt ja x_n ≈ x(t_n). Aikadiskretisointi muuttaa differentiaali- tai järjestelmämuodon alkuehdot ratkaistavaksi jonoiksi tai ristisynteiksi.
- Etu- Euler (forward Euler): x_{n+1} = x_n + Δt f(t_n, x_n). Yksinkertainen, mutta vakausvaatimukset rajoittavat sitä erityisesti epäjäykissä
- Taka-Euler (backward Euler): x_{n+1} = x_n + Δt f(t_{n+1}, x_{n+1}). Implisiittinen, usein stabiili ja soveltuu jäykille ongelmille.
- Trapezoid- eli Crank-Nicolson -menetelmä: x_{n+1} = x_n + (Δt/2)[f(t_n, x_n) + f(t_{n+1}, x_{n+1})]. Joustava ja korkeamarkkinen tarkkuus.
- Runge-Kutta-menettelyt: esim. RK4- (neljä vaihetta) antaa korkeamäisen kertymän p:n mukaisesti. Laajasti käytetyt tarkkuuden ja vakauden tasojen
- Monivaiheiset menetelmät: Adams-Bashforth (ekspisiittinen) ja Adams-Moulton (implisiittinen) perusmallit, usein predictor-corrector -tyylisesti.
- Tarkkuus ja vakaa: diskretisaation virhe koostuu paikallisesta hajoamisen virheestä ja globalvirheestä; järjestelmässä p-kertainen asteluku tuottaa O(Δt^p)
- Jäykät ongelmat: implisiittiset menetelmät ovat useimmiten parempia jäykille järjestelmille ja voivat olla A-stabiileja.
- Säädettävä askel: usein käytetään adaptiivista aikapolkua, jossa Δt muuttuu paikallisen virheen estimoinnin perusteella.
- Tilatason ja avaruuden käsittely: usein aikadiskretisointi yhdistetään tiladiskretisointiin (esim. tilakointiin, menetelmälinjoihin PDE-ongelmien ratkaisemiseksi).
Aikadiskretisointia käytetään laajasti kyseisiin tilanteisiin: normaalien ODE- ja PDE-ongelmien ratkaiseminen, mallien simulointi sekä tilastollisten ja fyysisten