aikadiskretisaatiota

Aikadiskretisaatio on prosessi, jossa jatkuva aika muunnetaan diskreetiksi aikaväliksi ja differentiaaliyhtälöt korvataan vastaavilla erotusyhtälöillä. Tämä mahdollistaa ODE- ja ajasta riippuvien PDE-mallien numeerisen ratkaisun tietokoneella. Ratkaisut y_n ovat likimääräyksiä todellisesta ratkaisusta y(t_n), kun t_n = t0 + n h ja h on aikaväli.

Käytetyt menetelmät ja esimerkit ovat sekä explicit- että implicit- aikapäivityksiä. Esimerkkejä ovat forward Euler (y_{n+1} = y_n + h f(y_n,t_n); first order), backward Euler (y_{n+1} = y_n + h f(y_{n+1},t_{n+1}); first order, implicit) sekä Crank–Nicolson (y_{n+1} = y_n + (h/2)[f(y_n,t_n) + f(y_{n+1},t_{n+1})]; second order). Lisäksi käytetään Runge–Kutta- ja Adams–Bashforth/Moulton -menetelmiä korkeampaan tarkkuuteen.

Ominaisuudet: aikadiskretisaatio on ominaisuuksiensa mukaisesti konsistentti, stabiili ja konvergenssiin johtava, laajemmin sanottuna ratkaisut lähestyvät todellista ratkaisua y(t) kun h → 0. Stiff-malleja varten painottuvat implicitiset menetelmät, jotka voivat olla A-stabiileja. PDE-sovelluksissa aikavälin valintaan vaikuttavat usein CFL-ehdot, jotka rajoittavat suurinta sallittua aikaskelta suhteessa tilaväleihin.

Lisäpiirteet: adaptiivinen aikaväli kehittää tehokkuutta virheenseurantaan perustuen, jolloin h vaihtelee ratkaisuun reagoiden tarkkuusvaatimuksiin ja laskentakustannuksiin.

Esimerkki: dy/dt = -λ y, y(0)=y0. Forward Eulerin päivitys: y_{n+1} = y_n + h(-λ y_n) = y_n (1 - h λ).