absoluuttiarvot

Absoluuttinen arvo on matemaattinen käsite, joka määrittelee luvun etäisyyden nollasta reaali- tai kompleksitasolla. Mitä luku on positiivisessa sijainnissa, sen absoluuttinen arvo on sama luku; mikäli luku on negatiivinen, absoluuttinen arvo on sen etäisyys nollasta, eli luvun negatiivinen määrä on käännetty positiiviseksi. Merkitään absoluuttista arvoa yleensä symbolilla |a|. Fonktio |·| on määritelty seuraavasti: |a| = a, jos a ≥ 0; |a| = -a, jos a < 0. Tälle syystä funktion arvo on aina ei-negatiivinen.

Absoluuttisella arvolla on useita perusominaisuuksia: nollakuvaus |0| = 0; palautusominaisuus |a| = 0 jos ja vain jos a = 0; symmetriaominaisuus |−a| = |a|; kolmiulotteinen epätasa-arvo |a + b| ≤ |a| + |b|, joka on yksi itseisarvojen tärkeimmistä ratinominaisuuksista.

Käsite sai laajemman tunnettuuden 1800-luvulla Armand Louis Reynaud'n esityksenä. Sen soveltamisalueita ovat metriikka, geometrian etäinten määrittely sekä käyrien ja alueiden mittaaminen. Absoluuttisella arvolla voidaan ratkaista monimutkaiset yhtälöt, tarkastella eroja lähelle nollaa ja suodattaa virheitä mittausdataa käsiteltäessä.

Absoluuttinen arvo on läheisesti yhteydessä neliöjuureen, koska |a| = √(a²) kaikilla reaaliluvuilla a. Keskeisiä lisäterveitä ovat kompleksiluvun itseisarvo ja matriisin spektrinen normaali, jotka laajentavat itseisarvojen ominaisuuksia monimutkaisempiin rakenteisiin.